Contents

1 Permutation groups 3

1.1 Symmetric group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2Group actions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3Orbits and invariant sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Stabilizers and transitivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Permutation group isomorphism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6Blocks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Stabilizers and primitivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8Direct sumand direct product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9Wreath product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Invariant relations 11

2.1 m-orbits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 m-ary invariant relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 m-equivalent permutation groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 m-closed permutation groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 A structure of a scheme 17

3.1Adjacency algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2Cells and basis relations. Homogeneous schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Equivalences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Factors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Isomorphisms and similarities. 

3.7Cellular algebras isomorphisms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8 Schurity and separability problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Examples and constructions 30

4.1Distance-regular graphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Finite projective planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Finite affine planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 1-regular schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5 Primitive schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6Direct sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7Tensor products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.8Wreath products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Highly dimensional constructions 41

5.1 Extended schemes and their similarities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 m-closure and m-similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 m-schurity and m-separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4 Further theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5 Schemes of finite planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.6 2-closedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.7 2-closed primitive schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . .